Как отделить строку от символов - C#

Используйте String.Split().

string value =  "first@second.com";
string[] separators = {"@", "."};
string[] words = value.Split(separators, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries);

Находите индексы двух символов, проверяете их, выкусываете нужную подстроку:

public static void Main()
{
    var input = Console.ReadLine();
    var atIndex = input.IndexOf("@");
    var dotIndex = input.IndexOf(".");
    if (atIndex > -1 && dotIndex >= atIndex)
    {
        var output = input.Substring(atIndex + 1, dotIndex - atIndex - 1);
        Console.WriteLine(output);
    }
    else
    {
        Console.WriteLine("Invalid input");
    }
}