Проверка подключения к MySQL (Java)

Без указания базы вряд ли получится. Но в MySql есть тестовая база test. Можно подключиться к ней и сделать тестовый запрос, т.е. select 1. Примерно так:

    Class.forName("com.mysql.jdbc.Driver");
    String url = "jdbc:mysql://localhost:3306/test";
    String user = "testUser";
    String password = "testPasssword";
    try (Connection conn = DriverManager.getConnection(url, user, password);
         Statement st = conn.createStatement();) {
        st.execute("select 1");
    } catch (SQLException e) {
        //обработка ошибки
        //можно делать дополнительную проверку через
        String sqlState = e.getSQLState();
        //sqlState.equals("...")
    }

При неправильном юзере/пароле свалится исключение. К тому же можно дополнительно спарсить sqlState из ошибки. Однако стоит учитывать, что администратор БД может запретить возвращать ошибки вида "правильный логин, но неправильный пароль" из-за ограничений безопасности (они будут указываться просто как неправильный логин или пароль).