MySQL шаблон WHERE id = *

"SELECT COUNT(*) FROM answers WHERE user_id=$id"

В вашем случае:

SELECT COUNT(*) FROM answers WHERE (user_id=$id or ($id is null))

или

SELECT COUNT(*) FROM answers WHERE user_id=coalesce($id,user_id)

тогда

$id = NULL;

PS: $id должен быть соответствующим образом подготовлен, иначе это SQL-иньекция.

Лучше не усложнять запрос, а добавлять условие тогда, когда оно действительно необходимо. Например так

   "SELECT COUNT(*) FROM answers". ($id ? " WHERE user_id=$id" : "")

Если предполагается несколько необязательных условий бывает удобно делать так

   $sql="SELECT COUNT(*) FROM answers WHERE 1=1";
   if($id)     { $sql.=" AND user_id=$id"; }
   if($field1) { $sql.=" AND filed1=$field1"; }

Для избежания возможных sql-инъекций обязательно проверяйте все переменные на корректность (например применяйте $id=int($id)). А еще лучше не подставлять переменные непосредственно в текст запроса, а поставить вместо них плейсхолдеры (обычно ?) и использовать привязку переменных к запросу.

Если ваша задача - получить все строки у которых указан какой-либо id, то вам необходимо =$id заменить на NOT NULL, так как если поле не заполнено - то оно считается пустым, т.е. NULL. Ну и для этого есть своя проверка.

Стандартный подход в таких случаях - использовать конструкцию

... where @id is null or id = @id

Ну и ещё у тебя в коде sql injection.