Алгоритм вывода людей и мест работы

$persons = [
    ['id' => 1, 'name' => 'user1'],
    ['id' => 2, 'name' => 'user2']
];
$jobs = [
    ['person_id' => 1, 'name' => 'job1'],
    ['person_id' => 1, 'name' => 'job2'],
    ['person_id' => 2, 'name' => 'job2']
];

person1(1, 2), person2(2)
job1(1), job2(2)

Немного переименуем исходные массивы:

$pdata = [['id' => 1, 'name' => 'user1'], ['id' => 2, 'name' =>'user2']];
$pjdata = [['person_id' => 1, 'name' => 'job1'], ['person_id' => 1, 'name' => 'job2'], ['person_id' => 2, 'name' => 'job2']];

Составим уникальный список работ с их номерами

$jobs = array_flip(array_unique(array_column($pjdata, 'name')));

Сделаем заготовку для массива $perons вида [1 => ['name' => 'user1', 'jobs' => [] ], ....]

$persons = array_map(function($p){ 
                 return ['name' => $p, 'jobs' => []];
              }, array_column($pdata, 'name', 'id'));

Теперь заполним поля jobs, пройдясь по массиву:

foreach($pjdata as $d){
    $persons[$d['person_id']]['jobs'][ $jobs[$d['name']] ] = $d['name'];
}

и собственно осталось вывести результат в нужном виде:

Array (
    [1] => Array  (
            [name] => user1
            [jobs] => Array (
                    [0] => 'job1'
                    [1] => 'job2'
                )    
        )    
    [2] => Array (
            [name] => user2
            [jobs] => Array (
                    [1] => 'job2'
                )    
        )    
)

Вывод, наверное, труда не составит, номера работ можно склеить через implode(',', array_keys($p['jobs']))

Итерируемся по массиву $persons на каждой итерации проходимся по массиву $jobs и находим все места работы персоны. Данные сохраняем в отдельный массив.

$persons = [['id' => 1, 'name' => 'user1'], ['id' => 2, 'name' => 'user2']];
$jobs = [['person_id' => 1, 'name' => 'job1'], ['person_id' => 1, 'name' => 'job2'], ['person_id' => 2, 'name' => 'job2']];
$p_j = [];
foreach ($persons as $person) {
  foreach ($jobs as $job)  {
    if ($job['person_id'] == $person['id']) {
        if (array_key_exists($person['id'], $p_j)) {
            if (!in_array($job['name'], $p_j[$person['id']])) {
                $p_j[$person['id']][] = $job['name'];
            }
        } else {
            $p_j[$person['id']][] = $job['name'];
        }
    }
  }
}
foreach ($persons as $person) {
  echo $person['name'] . '(';
  if (array_key_exists($person['id'], $p_j)) {
    echo implode(',', $p_j[$person['id']]);
  }
echo ') ';
}
echo "\n";
// user1(job1,job2) user2(job2) 

Надеюсь для вывода второго рядка сами правки сделаете

Если отталкиваться от того, что вся информация забирается из БД.

$personToJobs = [];
$jobToPersons = [];
$stmt = $db->query('SELECT DISTINCT person_id, name FROM persons_job_table');
while($row = $stmt->fetch(\PDO::FETCH_ASSOC)){
    if(!isset($personToJobs[$row['person_id']])) $personToJobs[$row['person_id']] = [];
    if(!isset($jobToPersons[$row['name']])) $jobToPersons[$row['name']] = [];
    $personToJobs[$row['person_id']][] = $row['name'];
    $jobToPersons [$row['name']][] = $row['person_id'];
}

Вывод

foreach($personToJobs as $person => $jobs){
    echo "person".$person."(".implode(',', $jobs).")".PHP_EOL;
}
foreach($jobToPersons as $job => $persons){
    echo $job."(".implode(',', $persons).")".PHP_EOL;
}