Как отправить переменную из делегата в другой класс?

Можно оздать собственный произвольный сигнал в делегате, передающий значение ключа, по которому произошли изменения в исходной модели. Достаточно в классе делегата объявить произвольный сигнал и отправлять его из соответствующего метода:

class ComboBoxDelegate : public QStyledItemDelegate {
    Q_OBJECT
    signals:
        void keyChanged(const QString &key);
    ...
};
void ComboBoxDelegate::setModelData(QWidget *editor
    , QAbstractItemModel *model, const QModelIndex &index) const {
     // Так делать не надо!
     // QComboBox *combo = static_cast<QComboBox*>(editor);
     // Если речь идёт об указателе, связанном с QObject или QWidget,
     // используйте именно qobject_cast<T>().
     QComboBox *combo = qobject_cast<QComboBox>(editor);
     if(combo == Q_NULLPTR) return;
     model->setData(index, combo->currentText());
     int comboRow = combo->currentIndex();
     QModelIndex comboIndex = combo->model()->index(comboRow, 2);
     QVariant value = combo->model()->data(comboIndex);
     emit keyChanged(value.toString());
}

На приёмной стороне или, проще говоря, слоте, который будет предварительно подключен к данному сигналу, останется лишь выполнить соответствующую обработку:

void Pekarnya::onSkladKeyChanged(const QString &key) {
    QSqlQuery query;
    query.prepare(
        "UPDATE sklad SET sklad.weight = :weight" \
        " WHERE sklad.key = :key;");
    query.bindValue(":weight", result); // "result" берётся извне.
    query.bindValue(":key", key);
    query.exec();
}

От себя я бы всё-таки порекомендовал отойти от такой практики синхронизации взаимосвязей между таблицами на уровне кода в приложении и по возможности переключить ответственность за отслеживанием изменений непосредственно на саму базу данных. Это могут быть триггеры или даже процедуры. Также, в отдельных простых случаях помогает упростить задачу использование связки уже готовых классов QSqlRelation....

Замечание

Поскольку метод ComboBoxDelegate::setModelData() const является константным, соответственно, чтобы отправить из него сигнал ComboBoxDelegate::keyChanged() потребуется или объявить и сам сигнал константным:

signals:
    void keyChanged(const QString &key) const;

Или произвести приведение типа указателя this к неконстантному типу:

ComboBoxDelegate *delegate = const_cast<ComboBoxDelegate*>(this);
emit delegate->keyChanged(value.toString());