Как правильно написать этот код с шаблонами?

1. Шаблон - это не класс, шаблон - это не функция. Шаблон - это просто чертеж(паттерн, план), который будет использоваться компилятором для генерации семейства классов/функций.

2. Если компилятор генерирует функцию/класс из шаблона, он должен 'видеть' определения генерируемых им функций/методов класса.

3. Компилятор не собирает проект, т.е. он не видит связей между несколькими .cpp файлами. Это делает ваша IDE.

В вашем случае: в main.cpp будет создан экземпляр vi<int> и объявлен(не определен!) метод vi::operator[]. Он будет просто объявлен, т.к. в шаблоне вы однозначно указали компилятору: 'Только объяви!'(T operator[](int idx);). И это все не будет иметь никакого отношения к вашим определениям в vi.cpp.

Это все наводит на мысль, что лучше определять реализацию методов прямо в шаблоне класса, или в том же файле, где объявляется шаблон.

При крайней необходимости или огромном желании разделить интерфейс и реализацию, вы можете воспользоваться следующим подходом:

// vi.h
#include <vector>
template<typename T>
class vi {
        std::vector<T> vr;
        public:
        T operator[](int idx);
};
#include "vi"
// ^^^^^^^^^^

// vi (файл без расширения)
// реализация из бывшего vi.cpp
template<typename T>
T vi<T>::operator[](int idx)
{
        return 1;
}  

Это позволит компилятору 'видеть' одновременно и объявление шаблона, и определение шаблонных методов Вместо файла без расширения vi вы можете выбрать любое другое имя с любым расширением.

Одно замечание: ваша IDE может жаловаться на подобный код, но это абсолютно легальный подход. Вы можете выполнить компиляцию и линковку из командой строки при необходимости.

Templates definition and declaration. C++ FAQ

template<typename T>
T vi<T>::operator[](int idx)
{
        return 1;
}