Можно ли сделать так, чтобы объект класса создавался только путём выделения памяти в куче, а не на стеке?

Конечно, можно. Закройте его деструктор (сделайте его private).

Чтобы удалить выделенный динамически объект, вам придется написать отдельную функцию - например, друга или статический член - для удаления, вроде

friend void destroy(MyClass* t) { delete t; }
...
MyClass * o = new MyClass;
...
destroy(o);

Если в первую очередь имеет значение сам факт создания в куче, и нет обязательного требования разрешать в клиентском коде запись вида new MyClass, то вместо сокрытия деструктора можно подойти с другой стороны жизненного цикла объекта и сделать приватным конструктор, предоставив соответствующую create-функцию или даже семейство функций:

class MyClass {
    MyClass();
public:  
    static MyClass* create() { return new MyClass; }
};

Теперь, чтобы не забыть сделать delete объекта в нужный момент и не получить утечку памяти, разумно возвращать не сырой указатель, а std::unique_ptr. Функция изменится так:

static std::unique_ptr<MyClass> create() { return std::unique_ptr<MyClass>(new MyClass); }

Однако, если мы пойдём ещё дальше и заменим std::unique_ptr<MyClass>(new MyClass) на std::make_unique<MyClass>() для уменьшения накладных расходов, то получим ошибку компиляции:

error: calling a private constructor of class 'MyClass'

Возникает это из-за того, что мы пытаемся вызвать наш приватный конструктор по сути вне класса MyClass. Но это можно побороть следующим небольшим "хаком" - добавить приватный тип и использовать его в качестве дополнительного параметра для конструктора MyClass, при этом сам конструктор снова сделать публичным. Итоговый пример:

class MyClass {
    class tag {}; // скрытый от внешнего кода тип
public:
    MyClass(const tag&) {}      
    static std::unique_ptr<MyClass> create() { return std::make_unique<MyClass>(tag()); }
};
int main() {
    auto p = MyClass::create();
}