Не компилируется код C++

Ошибки при компиляции тут нет. Ошибка при выполнении - да, это есть.

Что вы возвращаете тут?

Array Array::operator[](int j)
{
    return arr[j];
}

Новый объект Array с количеством членов, равным значению arr[j]. А потом пытаетесь присвоить ему что-то - с помощью генерируемого по умолчанию оператора присваивания. Т.е. делаете полную ерунду, которую долго расписывать (да и нужно ли?)...

Вы явно хотели следующее:

int& Array::operator[](int j)
{
    return arr[j];
}

Вы инициализируете указатель не в конструкторе, а сразу в обьявлении

class Array
{
    int n;
    int *arr = new int[n];
//... 

естественно у вас будет и ошибка компиляции... Может вы просто проявили невнимательность, но нужно так:

class Array
{
    int n;
    int *arr;
public:
    Array(int n) : n(n), arr( new int[n] )
    { }
//...
};