Объект класса в качестве значения map

Для использования типа данных std::map с оператором [] этот тип должен поддерживать инициализацию по умолчанию. Ваш класс ее не поддерживает, о чем вам и сказал компилятор.

Чтобы вставлять в std::map данные, не поддерживающие инициализацию по умолчанию, у вас есть

Some x(10);
list.emplace('z', x);

или даже сразу

list.emplace('z', 10);

А еще лучше, начиная с C++17

list.try_emplace('z', x);
list.try_emplace('y', 10);

Можно сделать так:

struct Some {
    int value;
    explicit Some(int value = 0) : value(value) {}
};

При обращении через оператор [] ему нужна возможность создания объекта по умолчанию - вот мы ее и предоставляем...

Или не пользуйтесь индексами, а вставляйте, скажем, так:

list.insert(make_pair('z',x));