Ошибка при подключении файла

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a % b);
}
int main()
{
    int A, B, N, K = 1;
    ifstream file("input.txt");
    file.open;
    file >> A >> N;
    cin >> A;
    cin >> N;
    if ( ( 1 % gcd(A + 1, N) ) != 0){
        B = -1;
    }
    else{
        while ( (K*N + 1)%(A + 1) != 0 ){
            K = K + 1;
        }
        B = (K*N + 1)/(A + 1) - 1;
    }
    cout << B;
    return 0;
}

Уберите точку с запятой:

#include <fstream>;

Итерация 2. Теперь выбросьте строчку с file.open. Файл уже открыт в конструкторе.

Итерация 3. Выбросьте или чтение из файла, или из cin. Вы пытаетесь читать и оттуда, и отсюда...

Вот так все будет работать (взял Ваш, код как есть)

ifstream file;
file.open("input.txt");

читайте:

https://www.google.ru/search?newwindow=1&rlz=1C1HLDY_ruRU724RU724&q=c%2B%2B+ifstream+file&oq=c%2B%2B+ifstream+file&gs_l=psy-ab.3..0i10i67k1j0j0i10k1j0l2j0i22i30k1j0i22i10i30k1l2j0i22i30k1l2.178405.180784.0.182314.17.13.0.0.0.0.101.1025.11j2.13.0....0...1.1.64.psy-ab..6.11.876...33i22i29i30k1j33i160k1.0.TwLHSFi3X9w

Простой и понятный пример работы с файлом:

// print the content of a text file.
#include <iostream>     // std::cout
#include <fstream>      // std::ifstream
int main () {
  std::ifstream ifs;
  ifs.open ("test.txt", std::ifstream::in);
  char c = ifs.get();
  while (ifs.good()) {
    std::cout << c;
    c = ifs.get();
  }
  ifs.close();
  return 0;
}