Перегрузка оператора operator=

Думаю, вы хотите это? К сожалению, сам класс вы не показываете, так что приходится гадать...

String& String::operator=(const char * other)
{
    delete[] mString;
    mSize = std::strlen(other);
    mString = new char[mSize + 1];
    strcpy(mString, other);
    return *this;
}

Для одного символа:

String& String::operator=(char other)
{
    delete[] mString;
    mSize = 1;
    mString = new char[mSize + 1];
    mString[0] = other; mString[1] = 0;
    return *this;
}

Если вдруг у вас реализованы конструктор из C-строки и большая тройка(а она должна быть реализована раз уж вы динамически выделяете память), то можно сделать так:

String & String::operator=(const char *other){
   *this = String(other);
   return *this;
}

UPD: Раз уж опечатки нет, и у вас уже есть operator=(const char*), то можно так:

String & String::operator=(const char c){
   char cstr[] = {c, 0};
   *this = cstr;
   return *this;
}