Перегрузка операторов C++. Умножение на константу

struct variables {
    double x,y,z;
    double u,v,w;
    vector <double> J;
    vector <double> Omega;
    variables();
};

friend const variables operator*(const variables& left, const double& right);
friend const variables operator*(const double& left, const variables& right);

Когда вы реализуете friend-функцию (оператор), вы на самом деле реализуете внешнюю функцию, просто она имеет доступ к приватным полям. Для простых структур в этом нет смысла, т.к. все поля публичны, можно реализовать просто внешнюю функцию (оператор).

К сожалению, реализовывать придется либо оба оператора: правый и левый, либо использовать библиотечные генераторы наподобие boost::operators (пример). Но от них может пострадать производительность для некоторых случаев. В предложениях к стандарту есть автоматическая генерация операторов, но я не знаю, какой статус оно сейчас имеет.

Достаточно просто внутри структуры перегрузить оператор

const variables operator*(variables& i) {
    x * i.x;
//    etc
    return this;
}

Да, если вы хотите иметь возможность умножать на скаляр типа double и справа, и слева, то для этого придется реализовать две версии перегруженного оператора operator *: один с параметром double слева, другой - один с параметром double справа. (В данном случае нет необходимости передавать параметры типа double по константный ссылке. Логичнее передавать просто по значению.)

Второй оператор (с параметром double справа) может быть перегружен как функцией-членом, так и отдельной функцией. Первый (с параметром double слева) может быть реализован только отдельной функцией. По этой причине, для единообразия, обе версии оператора обычно перегружают отдельной функцией, хотя такого единообразия формально не требуется.

Эти отдельные функции не обязаны быть friend-функциями. Но если вы в них хотите работать напрямую с закрытыми внутренностями класса (а обычно это нужно), то придется их объявить как friend-функции.

И, наконец, вас никто не заставляет реализовывать эти функции прямо внутри класса. Внутри класса должны располагаться только friend-объявления этих функций, а их реализацию (определения) вы можете расположить снаружи.

Однако у вас в в данный момент ваш класс объявлен как struct и все его внутренности полностью доступны внешнему миру. В такой ситуации вам вообще не нужны friend-функции и объявлять ваши операторы внутри класса как friend-функции никакой необходимости нет.