Почему при использование static в switch происходит ошибка?

Дело в том, что конструкция switch/case в С++ является модифицированным оператором goto, и блоки case не создают новую область видимости. Соответственно переменная counter может быть использована в блоках case 0 и default, но инициализация этой переменной происходит только при выполнении блока case 1. Это может привести к использованию переменной couter без инициализации.

Следует вручную создать новую область видимости. Теперь counter не виден из других блоков и не может быть случайно использован внутри них:

case 1:
{
   static int counter = 0;
   cout << "COUNTER = " << counter;
   counter++;
   break;
}

Или вынести эту переменную наружу, тогда counter может быть использован и в других блоках, но всегда будет инициализирован.

static int counter = 0;
switch (num)