Подключение к БД Qt

Для этого надо поработать с API какой-нибудь СУБД и это будет ваше частное решение.

А если вы говорите об общем функционале, то, собственно, никак и Qt тут не исключение.

Тут принцип простой и связан с безопасностью баз данных. Доступ к СУБД имеет ее администатор, а доступ к конкретной базе данных имеет администратор этой базы данных (в общем случае это разные люди).

Например, таким образом организованы СУБД на хостинговых серверах. Иначе, любой новый сайт мог был получить доступ к списку всех БД, управляемых данной СУБД, что, как вы можете догадаться, нежелательно.

Это имеете в виду?

select name from sys.databases;