Сохранить vector в файл и считать оттуда

То, что вы хотите, называется сериализациея/десериализация. Существует довольно много решений на этот счет, например, boost::serialization.

Одним из простых кросплатформенных способов сериализации является использование QDataStream и перегрузка operator << и operator >> для пользовательских типов. Любой массив записывается в виде

stream << std::int64_t{array.size};
for(auto&& x: array)
  stream << x;

и считывается в обратном порядке, для контейнеров из Qt уже предусмотрены перегрузки.

Пример перегрузок:

QDataStream& operator << (QDataStream& stream, const str& rha){
  return stream 
    << int64_t{rha.a}
    << rha.b;
}
QDataStream& operator >> (QDataStream& stream, const str& rha){
  int64_t a; // Нужен платформонезависимый тип
  stream >> a;
  rha.a = a;
  stream >> rha.b;
  return  stream;
}
str str_1 {123, false};
str str_2;
{
  File file("file.dat");
  file.open(QIODevice::WriteOnly);
  QDataStream out(&file);
  out << str1; 
}
{
  File file("file.dat");
  file.open(QIODevice::ReadOnly);
  QDataStream in(&file);
  in >> str2; 
}

Для обработки ошибок можно бросать исключения (без этого есть шанс заполнить все структуры нулями и долго искать ошибку).

Строки таким образом сериализовывать нельзя, нужно преобразовывать их в нормальный массив, например, в utf8, и уже его записывать, т.к. чтение и запись строк в потоки обычно не симметричны.

То же самое можно делать и со стандартными потоками, но там есть проблема с кросплатформенностью.

Для начала нужно определить методы чтения/записи вашей структуры. Для этой цели хорошо подходят операторы << и >>.

std::ostream& operator<<(std::ostream &os, const str &value){
    os << value.a << value.b;
    return os; 
}
std::istream& operator>>(std::istream &is, str &value){
    is >> value.a >> value.b;
    return is; 
}

Теперь писать структуру в файл можно так:

std::fstream ofs("file");
str s;
ofs << s;

а читать так:

std::fstream ifs("file");
str s;
ifs >> s;

Чтобы записать вектор структур в файл, можно сделать так:

std::fstream ofs("file");
std::vector<str> v = {...};
std::copy(v.begin(), v.end(), std::ostream_iterator<str>(ofs));

Чтобы прочитать вектор структур, можно сделать так:

std::fstream ifs("file");
std::vector<str> v;
std::copy(std::istream_iterator<str>(ifs), std::istream_iterator<str>(), std::back_inserter(v));

Это была инструкция для str. Вам нужно выполнить аналогичные действия и для str2.