thread Что происходит при join?

После вызова join() объект потока перестаёт управлять потоком, как и при вызове detach. get_id() корректно возвращает пустой id - хотя это и не значит, что сам поток уничтожен окончательно, просто он не будет иметь видимых побочных эффектов.

После вызова join() переданный функциональный объект гарантированно выполнен, т.е. в вашем случае запись в файл завершена, и можно осуществить другую запись. Неизвестно, когда и как этот функциональный объект будут удалён, но в вашем случае он содержит только ссылки и не важно, когда они будут удалены - сам объект файла управляется корневым потоком.

В более сложных ситуациях нужно учитывать, что деструктор функционального объекта может быть вызван в другом потоке (иначе невозможно было бы реализовать detach), а значит ресурсы нужно захватывать либо по ссылке, чтобы они всегда уничтожались в корневом потоке, либо по значению - тогда не важно, в каком потоке они уничтожатся (но тут вполне можно выстрелить себе в ногу), либо черезshared_ptr, который в данном случае схож с захватом по значению.