Тип для хранения времени в С++

Можете воспользоваться стандартной библиотекой C для работы с датой и временем:

std::time_t t = time(nullptr);
std::cout << localtime(&t)->tm_hour;

В C++20 в библиотеку chrono добавляются функции для работы с датой, временем, временными зонами, новые классы часов и т.д. подробнее на cppreference

Сейчас Вы можете, например, сконвертировать time_point в std::time_t и также использовать функции из стандартной библиотеки C:

using sc = std::chrono::system_clock;
std::time_t t = sc::to_time_t(sc::now());
std::cout << localtime(&t)->tm_hour;

В Boost имеется библиотека Date_Time

В Qt также имеется класс для работы со временем - QDateTime.

Вам принципиальны "++"? Если нет, то gettimeofday(), localtime(), mktime() и работы со struct timeval может быть достаточно.