Цикл for проходящий по итераторам

   // code
   for(auto it = p; it != q; ++it){...}
   // another code

template<class FwdIt>
FwdIt remove_nth(FwdIt p, FwdIt q, size_t n)
{
// smth
        for (auto it = ++p; it != q;++it)
        {
            auto next = p; 
            *p = *++next; 
            p = next;
        }
//smth
}

std::vector<int> v = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
v.erase(remove_nth(v.begin(), v.end(), 5), v.end());

remove_nth() переносит элемент, который n номера, в конец. erase подчищает его.

Удалить N-й элемент вектора:

v.erase(v.begin()+N);

Удалить K элементов начиная с N-го

v.erase(v.begin()+N, v.begin()+N+K);

remove_nth() переносит элемент, который n номера, в конец.

Как-то так:

template<class FwdIt>
FwdIt moveNToEnd(FwdIt p, FwdIt q, size_t n) {
  assert (std::distace (p,q) < n);
  std::advance (p, n);
  auto val = *p;
  FwdIt prev = p++;
  for (;p!= q;) {
    *prev++ = *p++; 
  }
  *prev = val;
  return prev
}

Замечания:

• Для других контейнеров (std::list) можно сделать это более эффективно.
• Более практичным вариантом было бы сразу передавать итератор на перемещаемый элемент.

Цикл можно было оформить так. Полностью соответствует требуемому. В std::cout отладочный вывод

    auto last = p;
        if (p != q) {
            for (auto it = ++p; it != q; ++it)
            {
                std::cout << " before: it " << *it << "; last " << *last << std::endl;
                std::swap(*last, *it);
                std::cout << "after: it " << *it << "; last " << *last << std::endl;
                ++last;
                p = it;
            }
        }

Ошибки в вашей функции очевидные, вам об этом рассказали в комментарих. Функция пишется просто:

template<class FwdIt>
FwdIt remove_nth(FwdIt p, FwdIt q, const size_t n)
{
    FwdIt first = p + n; // нужно сохранять значение начала `p`
    for (auto it = first + 1; it != q;++it)
       *first++ = *it;
    return first;
}

Я думаю вам нужна отдельная функция, не требующая дальнейшее использование методов контейнера для удаления элемента: Приведу пример:

template<class ClassType, class For = typename ClassType::iterator>
ClassType my_remove(ClassType& cont, For p, For q, const size_t n)
{
    if(typeid(typename std::iterator_traits<For>::iterator_category)
            != typeid(std::random_access_iterator_tag) || size_t(q - p) <= n)
        return cont;
    For It = std::remove(p, q, n);
    //или используйте вашу собственную функцию
    //  For It = remove_nth(p, q, n);
    return ClassType(p, It);;
}
int main()
{  
    std::vector<int> v = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
            res = my_remove(v, v.begin(), v.end(), 4); 
    for (int i : res)
        cout << i << ' ';   
    return 0;
}