В чем ошибка использования strlen?

Почему не выводит текст с буквой t на конце?

Конец C-строки обозначется сиволом \0. После вызова getline буфер word содержит символ \0 в позиции word[strlen(word)]. Этот и есть конец вашей строки.

Вы записываете в этот буфер какие-то дополнителные символы после символа конца строки, в позиции word[strlen(word) + 1] и word[strlen(word) + 2]. Эти символы не являются частью строки и никакого влияния не ее содержимое не оказывают.

Что вы и наблюдаете.

Если вы хотели добавить символ 't' к вашей исходной строке, то добавлять его надо было вместо символа конца строки, а не после него. И затем надо не забыть сформировать символ конца строки на новом месте

size_t len = std::strlen(word);
word[len] = 't';
word[len + 1] = '\0';

Правильно ли я пытаюсь задать конец строки?

Я не вижу в вашем коде никаких явных попыток "задать конец строки". О чем речь?

strcat(word,"t")

будет проще и надежнее... Но если уж вы хотите именно так, как хотите :) - то

int l = strlen(word);
word[l] = 't';
word[l+1] = 0;

Так как после добавления t уже никто не гарантирует, что следующий за ним символ - нулевой...

Ну и, понятно, в обоих случаях остается молиться, чтоб места в word хватило на добавление...