вектор классов - обращение

Чтоб компилировалось, нужно так:

int main()
{
    primer p[2];
    vector<vector<primer>> p1;
    vector<primer> p2;
    string q = "qwerty";
    p[0].date = "22.01";
    p[0].hello = "asd";
    p2.push_back(p[0]);
    p1.push_back(p2);
    p[1].date = "22.19";
    p[1].hello = "qwerty";
    p2.push_back(p[1]);
    p1.push_back(p2);
}

Но вот то ли это, что вы хотите - разбирайтесь сами :) Здесь у вас первый вектор в векторе - из одного элемента, второй - из двух...

Дальше просто используйте цикл типа

for(const auto& p2: p1)
{
     // Ищем в p2 строку, если есть - выводим p2
     // Типа перебираем все строки в p2
     //      for(auto x: p2) 
     //          if (x.date == q)  // если строка есть 
     //              for(auto y: p2) cout << y.date;  // выводим весь p2
     // (Набросок на коленке, не для компиляции :))
}

Или вот, даже компилируемый :) -

int main()
{
    primer p[2];
    vector<vector<primer>> p1;
    vector<primer> p2;
    string q = "qwerty";
    p[0].date = "22.01";
    p[0].hello = "asd";
    p2.push_back(p[0]);
    p1.push_back(p2);
    p[1].date = "22.19";
    p[1].hello = "qwerty";
    p2.push_back(p[1]);
    p1.push_back(p2);
    for(const auto& p: p1)
    {
        for(const auto& r: p)
            if (r.hello == q)
                for(const auto& v: p)
                    cout << v.date << " " << v.hello << "\n";
    }
}

Правда, красивее все же через алгоритмы стандартной библиотеки...