Ввод строки в c++

Нет, неправильно. Потому что вы как минимум теряете выделенную в конструкторе память, а сохраняете не саму строку, а указатель на нее.

Т.е., например, выполните

FirstClass object(1);
char s[] = "11111";
object.set(s);
object.get();
s[1] = '2';
object.get();

и вы увидите, что вывод - разный. Вряд ли это то, что вы хотите...

Update

void set(const char* value) {
    delete[] str_value;
    str_value = new char[strlen(value)+1];
    strcpy(str_value, value);
}
FirstClass(const char* value):str_value(nullptr)
{
    set(value);
}
~FirstClass() { delete[] str_value; }

Само собой, нужно в том же духе переписать оператор присваивания и копирующий конструктор...

Да, и

protected:
    int str_size;
public:
    char* str_value;

превратите в

private:
    char* str_value;

а

char* get() {

в

const char* get() {