Явное приведение типов и lexical_cast

Что касается запрета приведения в стиле C, могу только посоветовать посмотреть в сторону опций компилятора. В GCC, например, можно добавить флаги -Wold-style-cast и -Werror, тогда приведение в стиле C будет вызывать предупреждение, а предупреждения будут трактоваться как ошибки.

С boost::lexical_cast все просто, нужно добавить специализацию шаблона. Ваш пример примет такой вид:

#include <iostream>
#include <string>
#include <boost/lexical_cast.hpp>
struct A
{
    int a;
    explicit operator std::string() const{
        return "<" + std::to_string(a) + ">";
    }
};
namespace boost{
    template<>
    std::string lexical_cast<std::string, A>(const A& arg){
        return std::string(arg);
    }
};
void f(std::string s) {
    std::cout << s << std::endl;
}
int main()
{
    A a {1};
    f(static_cast<std::string>(a));
    f(std::string(a));
    f((std::string)a);
    f(boost::lexical_cast<std::string>(a));
    return 0;
}

Сообразил некое костыльное решение для запрета преобразований без static_cast:

#include <iostream>
#include <string>
template <class T, class X>
T my_cast(X&& x) {
    return static_cast<T>(x);
}
#define static_cast my_cast
struct A
{
    int a;
private:    
    explicit operator std::string() const {
        return "<" + std::to_string(a) + ">";
    }
    template <class T, class X>
    friend T my_cast(X&& x);
};
void f(std::string s) {
    std::cout << s << std::endl;
}
int main()
{
    A a {1};
    f(static_cast<std::string>(a)); // ok
    f(std::string(a)); // error
    f((std::string)a); // error
    return 0;
}