Исходный код программы

Зачастую под исходным кодом подразумевают все файлы (и .csproj и .sln в том числе) которые необходимы для успешного билда с настроенным окружением на машине (Есть Visual Studio, установлен MSBuild, допустим), но без файлов .dll, .csproj.Config и т.д.

Т.Е. без файлов которые зависят от твоих текущий настроек студии, и от того как ты сбилдил свой солюшн.

Вот гайд по пользованию .gitignore, все заигноренные в нем файле бессмысленны для билда из исходного кода. https://github.com/github/gitignore/blob/master/VisualStudio.gitignore

Запускаемый файл - это исполняемый файл (exe или dll), правда зачем он им - ума не приложу, видно сами не умеют собирать проект (это заказчики не умеющие программировать? тогда ладно. А вот если это контора программистов, куда вас собеседуют - я бы задумался)

По вопросу не совсем понятно, у вас приложение asp.net core (тогда на выходе exe-файл) или у вас сайт asp.net core (тогда у вас набор dll, получаемых при publish проекта).

По поводу компонентов третьих лиц, 3d party. Вам запрещается использовать какие-либо dll, сторонние Nuget-пакеты и т.п. вещи. Возможно, это будет не совсем удобно, но таково у вас ТЗ.

Исходный код - весь код, включая все конфигурационные файлы.