Как правильно перенести данные?

Т.к. первоначальная таблица Patients по сути представляет приемы, я бы начал с переименования ее в "Приемы" и добавил бы nullable поле PatientID, указывающее на таблицу Patients. Тогда в PatientImages ничего менять не надо - она будет указывать на новую таблицу Приемы, что нам и нужно.

На этом можно было бы и остановиться и добавить в код логику: если FullName / DateOfBirth есть в таблице "Приемы", брать оттуда, иначе - из Пациентов. Но можно пойти дальше и нормализовать данные.

Т.к. в исходной схеме пациенты никак не идентифицировались, можно идентифицировать их по фамилии и дате рождения:

INSERT INTO Patients (PatientID, FullName, DateOfBirth) 
SELECT ROW_NUMBER() OVER(ORDER BY FullName, DateOfBirth) as PatientID, FullName, DateOfBirth from Receptions
GROUP BY FullName, DateOfBirth 

Затем нужно заполнить поле PatientID:

UPDATE Receptions SET Receptions.PatientID=Patients.PatientID
FROM Receptions INNER JOIN Patients WHERE Receptions.PatientID=Patients.PatientID

Затем убрать флаг NULLABLE с поля Receptions.PatientID.