Как проверить буквы или цифры вводит пользователь в TextBox?

Лучшее решение, я считаю, это использование прелестей MVVM и Binding. Первое, что нам следует - разделить вьюхи и логику их моделей. Второе - задать биндинг и реализовать INotifyPropertyChanged интерфейс, который нужен для оповещения вьюхи при изменении свойст на вью модели. Третье - реализовать интерфейс IDataErrorInfo нашей вьюмоделью.

Итого по итогу получаем следующее:

На вьюхе будут присутствовать элементы:

<TextBox Text="{Binding Year, UpdateSourceTrigger=PropertyChanged, ValidatesOnDataErrors=True}" />
<TextBlock Text="{Binding Error}" />

Где UpdateSourceTrigger служит для немедленного оповещения о изменении текста на TextBox элементе и ValidatesOnDataErrors - для включении валидации.

Сделаем два абстрактным базовых класса для упрощения:
ViewModelBase класс будет служить для нотификации. Он реализует INotifyPropertyChangedинтерфейс и может быть базовым классом для всех вью моделей.

public abstract class ViewModelBase : INotifyPropertyChanged
{
    public event PropertyChangedEventHandler PropertyChanged;

    protected bool SetProperty<T>(ref T target, T source, [CallerMemberName] string propertyName = null)
    {
        if (Object.Equals(target, source))
        {
            return false;
        }
        target = source;
        PropertyChanged?.Invoke(this, new PropertyChangedEventArgs(propertyName));
        return true;
    }
}

И еще один абстрактный класс ValidatableViewModelBase, который наследуется от нашего ViewModelBase и реализует интерфейс IDataErrorInfo. От него будут наследоваться все вью модели, на которых необходимо что-либо валидировать:

public abstract class ValidatableViewModelBase : ViewModelBase, IDataErrorInfo
{
    private string _error;

    public string Error
    {
        get => _error;
        private set => SetProperty(ref _error, value);
    }
    public string this[string columnName] => Error = Validate(columnName);

    protected abstract string Validate(string columnName);
}

И в итоге вью модель целиком будет выглядеть так:
Наследуется от нашего ValidatableViewModelBase и в Validate() методе мы прописываем нашу валидацию, где columnName - имя нашего свойства (Year в нашем примере).

public class MainViewModel : ValidatableViewModelBase
{
    private string _year;

    public string Year
    {
        get => _year;
        set => SetProperty(ref _year, value);
    }

    protected override string Validate(string columnName)
    {
        if (columnName == nameof(Year))
        {
            if (String.IsNullOrWhiteSpace(Year))
            {
                return "Year field can not be empty";
            }
            if (!Int32.TryParse(Year, out var value))
            {
                return "Year field can not be converted into number";
            }
        }
        return String.Empty;
    }
}

Я предлагаю использовать для всех TextBox'ов биндинг на string свойство, потому что считаю, что парсингом и валидацией должна заниматься непостредственно вью модель, но никак не вьюха.

Результат:

Почитать:

• MVVM
• INotifyPropertyChanged
• IDataErrorInfo
• Binding
• Binding.UpdateSourceTrigger
• Binding.ValidatesOnDataErrors

Вот что-то такое тебе нужно. Допускается ввод только 0-9 и срабатывание по нажатию Enter. Этот обработчик нужно прикрутить к textBox в событиях, к событию KeyPress в частности.

private void textBox1_KeyPress(object sender, KeyPressEventArgs e)
        {
            if ((e.KeyChar >= '0' && e.KeyChar <= '9')) return;
            if (Char.IsControl(e.KeyChar))
            {
                if (e.KeyChar == '\r')
                {
                  //был нажат Enter
                }
                return;
            }
            else e.Handled = true;
        }