Как убить вечный цикл в DataContext?

Дело в том, что дизайнер студии компилит классы. И естественно, конструктор класса прогоняется тоже. Поэтому самым простым решением будет вынести запуск листенера в отдельный метод, который вы будете дёргать, когда программа действительно запускается.

  <Window> 
  <i:Interaction.Triggers>
    <i:EventTrigger EventName="Loaded">
      <command:EventToCommand
        Command="{Binding RunListenerCommand}" />
    </i:EventTrigger>
  </i:Interaction.Triggers>
 ....
</Window>

RunListenerCommand - команда, которую вы определили в своей ViewModel.

Вторым вариантом будет в конструктор встроить вот такое:

if(!DesignerProperties.GetIsInDesignMode(this))
{
    // запускаем листенер
}