Как вернуть строчку с конца до элемента '/'

А давайте будем думать не в терминах строк, а в терминах объектов, мы ж пишем на объектно-ориентированном языке? Ваш адрес должен быть в любом случае в объекте типа Uri.

Uri uri = new Uri("http://site.ru/page-1/image-1.jpg");
string last = uri.Segments.Last(); // image-1.jpg

Если нужно ещё и откусить расширение, то

string lastWithoutExt = Path.GetFileNameWithoutExtension(last); // image-1

Если на входе у вас именно абсолютный Uri, нужнен именно последний сегмент, и нужно избежать случайных совпадений в query string, то:

var url = new Uri("http://site.ru/page-1/image-1.jpg");
Console.WriteLine("/" + url.Segments.Last()); // /image-1.jpg

Разница по сравнению с поиском последнего / в обработке строк вот такого вида:

var url = new Uri("http://site.ru/page-1/image-1.jpg?some=a/b");
Console.WriteLine("/" + url.Segments.Last()); // все еще /image-1.jpg, а не /b

string s = @"site.ru/page-1/image-1.jpg";
int index = s.LastIndexOf(@"/");
string result = 
  (@"/" + System.IO.Path.ChangeExtension(s.Substring(index + 1), "")).Trim('.');

string a = "site.ru/page-1/pic.jpg";
string filename = a.Split('/')[2];