Как выполнять код отдельно от форм

Каждый проект имеет свою точку входа и WinForms не исключение, помимо одной формы по умолчанию также создается класс Program и в нем метод static void Main() - именно с него приложение начинает свою работу, там же вы и увидите открытие окна: Application.Run(new Form1());

Вы можете добавить в этот метод свою логику, какие-то статические публичные свойства и методы в класс Program и будете иметь доступ к ним из любого места.

Например, пусть у нас есть некий класс Data, содержащий некие данные, которые могут потребоваться в любом месте приложения, добавим в класс Program свойство:

public static Data AppData { get; private set; }

и в методе Main() запишем в это свойство некоторое значение:

[STAThread]
static void Main()
{
    AppData = new Data(...);
    Application.EnableVisualStyles();
    Application.SetCompatibleTextRenderingDefault(false);
    Application.Run(new Form1());
}

Теперь из любого места в приложении мы можем получить эти данные:

var veryImportantData = Program.AppData....;