Можно ли перемещать файлы в streamingassets из кода?

Для хранения и загрузки пользовательских данных на устройстве можно использовать Application.persistentDataPath. Это уникальный путь до локального хранилища вашего проекта на устройстве. В него можно записывать что угодно и оно не будет чиститься при обновлении приложения, но пользователь всё ещё сможет почистить его вручную.

Работа с ним осуществляется, как с простой папкой - можете писать туда через методы класса File.

После уточнения вопроса дополняю: Чтобы создать из загруженной текстуры материал можно осуществить следующие действия:

[SerializeField]
MeshRenderer _renderer; //ссылка на рендерер, в который будем устанавливать текстуру
//Допустим, где-то снаружи вы загрузили текстуру(режим Default у картинки) из нужного вам места и передали в этот метод
private void SetTexture(Texture tex)
{
    //Ищем шейдер для вашего материала по имени - я закинул для примера мобильный дефьюз. 
    var shader = Shader.Find("Mobile/Diffuse");       
    //Создаём новый материал под шейдер
    var mat = new Material(shader);    
    //Устанавливаем в поле шейдера _MainTex свою текстуру. Поле ищется по имени и в большинстве шейдеров поле под текстуру называется так.
    mat.SetTexture("_MainTex", tex);
    //Назначаем текстуру в рендерер
    _renderer.material = mat;    
}