Не обновляется свойство класса

А с чего str должна стать "str2"? Ты определил его до того, как записать новое значение в PlayerPrefs. Всё равно что удивиться следующему:

void Start () {
    int a = 1;
    aChange(a);
    Debug.Log(a); // Почему в логе 1, а не 2 
}
void aChange (int a) {
    a = 2;
}

Это же не ссылка на объект, а значение. Либо ты ошибся с static. Конструктор для static вызывается всего 1 раз (первый) сколько бы экземпляров классов ты не создал. И в других языках это так-же... и в Java тоже... иначе как-бы у вас Singleton работал.

public static void LogTest () {
    Debug.Log("Result 1: "+ValueStr);
    ValueStr = "str2";
    Debug.Log("Result 2: "+ValueStr);
}
static string SaveValueStr;
public static string ValueStr {
    get {
        if (SaveValueStr == "") {
            SaveValueStr = PlayerPrefs.GetString("str");
            if (SaveValueStr == "") { SaveValueStr = "str"; }
        }
        return SaveValueStr;
    }
    set {
        SaveValueStr = value;
        PlayerPrefs.SetString("str", SaveValueStr);
    }
}

Используй модификаторы доступа get/set.