Очистка старых данных из textBox

Linq однострочник (неффективно, зато просто и коротко)

myTextBox.Text = myTextBox.Text
    .Split(new[] {Environment.NewLine}, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)
    .Reverse()
    .Take(3) // сколько вам надо с конца строк
    .Reverse()
    .Aggregate(new StringBuilder(), (acc,s)=>acc.AppendLine(s))
    .ToString();

Примерно так:

if (textBox.Lines.Length > 1000)
{
    var index = textBox.Text.IndexOf(Environment.NewLine);
    textBox.Text = textBox.Text.Remove(0, index + Environment.NewLine.Length);
}
textBox.AppendText(text + Environment.NewLine);

Или можно взять ListBox вместо TextBox. С ним код будет выглядеть так:

if (listBox.Items.Count > 1000)
{
    listBox.Items.RemoveAt(0);
}
listBox.Items.Add(text);