Переопределение методов класса String

static class MyString : String
{
    static public string[] Split(this string s)
    {
        return Split(s, @"\t");
    }
    static public string[] Split(this string s, string d)
    {
        return Regex.Split(s, d);
    }
}

1.Возможно ли переопределение в классе String, чтобы...

Нет. Метод-расширение не может переопределить метод, объявленный в классе.

Если в классе уже есть метод с такой же сигнатурой, то он всегда будет иметь приоритет над методом-расширением.

В Вашем случае сигнатура первого метода совпадает с уже существующим методом String.Split(params char[]). Соответственно, при вызове:

var result = a.Split();

вызовется стандартный метод с пустым массивом разделителей. Согласно документации строка в данном случае делится по любым пробельным символам, а не только по табуляции:

... If the separator argument is null or contains no characters, the method treats white-space characters as the delimiters. White-space characters are defined by the Unicode standard; they return true if they are passed to the Char.IsWhiteSpace method.

Вы все еще сможете вызвать свой метод, обратившись к нему напрямую:

MyString.Split(a);

Но, чтобы использовать его как расширение Вам придется дать ему другое имя. Советую дать осмысленное название, связанное с тем, что делает метод, например SplitByTab.

Второй метод по сигнатуре не совпадает с существующими, но для удобочитаемости кода лучше дать ему более говорящее название, отличное от стандартного Split.

Как возможно реализовать мой вариант с моим методом? Выдает ошибку:

Для того-чтобы объявить методы-расширения не нужно наследоваться от класса. Уберите наследование от String:

static class MyStringExtensions
{
    static public string[] SplitByTab(this string s)
    {
        return SplitByRegex(s, @"\t");
    }
    static public string[] SplitByRegex(this string s, string pattern)
    {
        return Regex.Split(s, pattern);
    }
}

1. Вы не можете наследоваться от класса System.String, так как он является sealed

2. Вы можете добавить свои методы для string с помощью extension-a:

   public static class MyStringExtensions
   {
       public static string[] MySplit(this string s)
       {
           return s.Split('\t');
       }
       public static string[] MySplit(this string s, string d)
       {
           return Regex.Split(s, d);
       }
   }

3. Вы не можете переопределить уже имеющиеся методы в string. Даже с помощью extension-а, так как в этом случае вызываться будет метод из самого класса, а не из extension-a

Используйте методы расширения и определяйте свой собственный метод. Вот пример с консольным приложением:

namespace ConsoleApp1
{
 class Program
 {
    static void Main(string[] args)
    {
        string ST = "teststring";
        ST.MySplit();
    } 
}
static class ext
{
    public static string MySplit(this string str)
    {
        return str + "!!!";
    }
}

}