Подгрузить данные со следующей колонки AJAX (ASP.NET MVC)

Для того, чтобы рисовать на Вашей PartialView все ваши вопросы из таблицы QuestionBlocks нужно немного переписать код. Метод контроллера, который рисует основную страницу переписать так, чтобы в нее передавать подготовленный список.

Ваша основная загвоздка в том, что таблица в базе данных спроектирована некорректно. Внутри таблицы QuestionBlocks у Вас есть Question1, Question2, Question3, Question4, Question5, Question6, Question7, Question8, Question9, Question10 - все они столбцы таблицы. Было бы неплохо нормализовать таблицу и вынести Question в отдельную таблицу, чтобы у объекта QuestionBlock был список Question.

Но Ваш код можно переписать так, чтобы продемонстрировать как должно быть по-хорошему (но выглядит он ужасно) но без AJAX запроса. Метод контроллера, который рисует основную страницу перепишем так:

public ActionResult Recording(int id)
{
    List<string> lst = new List<string>();
    ApplicationDbContext db = new ApplicationDbContext();
    var item = db.QuestionBlocks.FirstOrDefault(x => x.Interview_Id == id);
    if(item != null)
    {
        lst.Add(item.Question1);
        lst.Add(item.Question2);
        lst.Add(item.Question3);
        lst.Add(item.Question4);
        lst.Add(item.Question5);
        lst.Add(item.Question6);
        lst.Add(item.Question7);
        lst.Add(item.Question8);
        lst.Add(item.Question9);
        lst.Add(item.Question10);            
    }
    return View(lst);
}

Таким образом на Вашей основной странице будет не пустая модель:

@model List<string>

Список этих вопросов будем передавать на PartialView в Вашей основной странице как-то так:

@Html.Partial(/*Ваша PartialView*/, Model)

Теперь перейдем далее, к Вашей PartialView, на ней у Вас уже есть модель, тут изменения тоже будут, хотите рисовать в одном блоке - вынесите его за пределы цикла foreach. Итак, что будет на странице:

@model List<string>
<div class="qustion-div-one">
    @foreach (var item in Model) {
        @Html.DisplayFor(modelItem => item)
    }
</div>

В этом случае все будет рисоваться сразу после загрузки страницы.

Второй вариант (менее затратный). Просто перепишем Вашу PartialView вот так, чтобы при клике на кнопку у Вас отобразились все Questions:

@model IEnumerable<SmartSolutions.Models.QuestionBlock>
@foreach (var item in Model) {
    <div class="qustion-div-one">
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question1)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question2)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question3)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question4)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question5)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question6)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question7)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question8)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question9)
        @Html.DisplayFor(modelItem => item.Question10)
    </div>
}

Для того, чтобы рисовать каждый новый Question при клике на кнопку - нужно менять концепцию модели данных. Текущая модель не подходит, придется много писать некрасивого кода. Если будет список однотипных значений - то будет проще. На данном этапе завершаю ответ, так как логика для отображения новых значений при клике пока такая: внутрь обработчика вешать проверку на то, какой блок был нарисован (к примеру храним идентификатор в переменной) и в зависимости от этого переходить к рисованию следующего, причем это будет происходить динамически в JavaScript.

К примеру если будет массив строк в качестве модели на основной странице, то будет следующее:

Объявим переменную на странице:

@{
    var indexQuestion = 0; // в начале первый элемент
}

А в JavaScript будет обработчик нажатия кнопки:

$(document).ready(function () {
    // предположим что у нее идентификатор btn   
    $('#btn').click(function () {
        if(@indexQuestion < 10) // знаем, что элементов десять
        {
            var input = document.createElement('input'); 
            input.type = "text"; 
            // берем значение и делаем инкремент
            input.value = '@Model[indexQuestion++]';
            // в блок questions добавим новый элемент
            document.getElementbyId('questions').appendChild(input);
        }
    }
}

В таком случае PartialView уже не будет нужна для рисования и тут снова без AJAX. Просто в Вашем вопросе достаточно странная логика, которая до конца не продумана, даже если продумана, то необходимые данные и код для этого не подготовлены.