Показать обработку в реальном времени

Как верно подмечено в соседнем ответе, не хватает i++ в цикле while. И наверно цикл for лучше подойдет, но это все равно не поможет. Если обработка файлов происходит быстро, вывод в лабел названий файлов не имел бы смысла, по этому будем считать, что обработка занимает какое-то время. В таком случае, если обработка будет происходит в основном потоке, то окно формы зависнет и ничего обновляться не будет. По этому, обработку нужно производить асинхронно:

void FinInFile(string fileName)
{
    System.Threading.Thread.Sleep(3000);//Имитируем обработку файла, который занимает 3 сек
}
private async void MyMethod()
{
    string[] arr = { "C:\\Windows\\wine.bat", "C:\\Windows\\lacky.bat", "C:\\Windows\\lacky2.bat", "C:\\Windows\\lacky3.bat", "C:\\Windows\\lacky4.bat" };
    for (int i = 0; i < arr.Length; i++)
    {
        label1.Text = arr[i];
        await Task.Run(() => FinInFile(arr[i]));
    }
}

string[] arr = {"C:\\Windows\\wine.bat", "C:\\Windows\\lacky.bat", ...};
int i = 0;
while (i != arr.Lenght) {
    label1.Text = arr[i];
    FinInFile(arr[i]);
}

Вы не где не прибавляете к i еденицу, для таких задачь лучше использовать for

for (int i = 0; i < arr.Lenght; i++)
{
    label.Text = arr[i];
    FinInFile(arr[i]);
}