Решить пример записав его условие не используя массивы

При расчете "снизу вверх" получается так:

var x = 5.0;
var xSquare = x * x;
var result = xSquare;
for (var i = 256; i >= 2; i /= 2)
    result = xSquare + i / result;
result = x / result;

Linq-вариант для полноты картины:

double x = 5;
double r = x * Enumerable.Range(0, 9).Aggregate(0.0, (t, i) => (1 << (8 - i)) / (x * x + t));
Console.WriteLine(r); // 0.19936603598533

Набросал кода, вроде выполняет вашу задачу.

int i = 256;
double x = 5;
double pow = Math.Pow(x, 2);
double result = pow;
while (i / 2 != 0)
{
    result = pow + (i / result);
    i /= 2;
}
result = x / (pow + result);

Рекурсивный вариант

double Calc(double x, int i = 1)
{
    if (i == 256) return x*x+i/(x*x);       
    if (i == 1) return x / Calc(x, 2);
    return x*x + i / Calc(x, i*2);
}
Console.WriteLine(Calc(5));

Который вернет ещё и верный ответ 0.19936603598533