Удаление элемента списка

List <string> names = new List<string>();
names[0]="Ivan";
names[1]="Dima";

Если речь идет о строках или типах-значениях, то подойдет метод Remove

List<string> names = new List<string>(2);
names.Add("Ivan");
names.Add("Dima");
names.Remove("Dima");

Для применения его с классами, класс должен реализовать IEquatable<T>, для сравнения. В противном случае сравнение будет происходить с использованием Object.Equals, что для ссылочных типов равносильно сравнению ссылок.

Можно получить новый список, в котором нет элементов со значением "Dima":

names=names.Where(x=>x!="Dima").ToList()

Можно использовать метод Remove

names.Remove("Дима")

var obj = (names.FirstOrDefault(o => o == "name"));
if (obj != null)
{
    int index = names.IndexOf(obj);
    names.RemoveAt(index);
}