Вопрос про ссылочные типы данных

У переменной значимого типа значение хранится в самой переменной. У переменной ссылочного типа в переменной хранится ссылка на некоторую область памяти, в которой в свою очередь хранится значение. Теперь о типе string, переменная такого типа хранит ссылку, но нюанс состоит в том, что выделенная память, на которую это ссылка указывает является неизменяемой, поэтому каждый раз когда вы проводите какие либо манипуляции со строкой вы, фактически создаете новый объект в памяти. И такие манипуляции затронут, только, непосредственно, ту переменную которая подверглась изменениям. Давайте рассмотрим ваш пример.

string str1; //здесь вы создали переменную str1, но она еще ни на что не ссылается
str1 = "123"; //здесь в переменную str1 записывается адрес литерала "123"
string str2;
str2 = str1; //здесь мы записали в переменную str2, значение адреса литерала "123"
             //который сохранен в переменной str1
str1 = "1234"; //а вот сейчас мы пишем в str1 ссылку на совершенно другой литерал
               //а в str2 остается старое значение, так с этой переменной 
               //вы никаких манипуляций не проводили

Да, небольшое добавление. Если вы сделаете так:

string str1 = "1234";
string str2 = str1;
string str3 = str1;

все три переменный будут ссылаться на одну область памяти, но любое изменение, любой из них не затронет остальные две, а просто породит еще одну строку.

Подробней можно почитать, например:

1. Строки, неизменяемость и персистентность.
2. Типы значений и ссылочные типы

Смотрите, String действительно является ссылочным типом, но ведет он себя в CLR несколько специфично, чтобы походить на тип значения. Поскольку строка традиционно относится к "базовым" типам, таким как int, double, Array, то программист подсознательно ожидает от строки поведения не как ссылочного, а как значимого типа. Для обеспечения такого поведения, при присваивании значения переменной строкового типа каждый раз создается новый объект, а переменной возвращается ссылка на этот новый объект.
Таким образом, строку

var someString = "Value";

Можно воспринимать как такой псевдокод

var someString = new String(Char[]{'V','a','l','u','e'});