Как стилизировать “select”?

По нормальному пути развития, Вы не стилизируете стандартный селек до такого состояния. Это будет нечто вроде dropdown.
Рекомендую посмотреть уже на готовые решения, которые вы сможете без труда стилизировать например вот или вот, их много, это как пример. Разумеется вы можете это все не использовать, а лишь посмотреть как сделано там и сделать по своему, в любом случае Вы поймете как получить желаемый эффект.
В случае если этот селект вам нужен только для навигации, предлагаю Вам отказаться от идеи select и сделать обычный dropdown