Существует ли способ указать min-padding?

Буквально именно свойства min-padding не существует, но желаемое поведение можно воссоздать обернув желаемый элемент контейнером, задав ему значение padding, которое должно быть минимальным. Также в некоторых случаях можно воcпрользоваться псевдоклассами before и/или after.

Нет, нету такого свойства, хоть раньше и шли разговоры его добавить.

Нету (min/max) префиксов ни у margin ни у padding.

Вы можете попробовать достичь желаемого эффекта (в зависимости от задачи конечно) с помощью (vh/vw) величин.