Как прописать ::before внутри style=“”?

::before -- псевдоэлемент, а стили в атрибуте style вы прописываете для элемента, которому это свойство принадлежит. А раз элемент псевдо, то нет возможности задать его стиль таким образом.

Но выход есть. Вы можете использовать специальный класс для именно этого блока (атрибут class поддерживает несколько значений, например: class="hot-card special-class") и всё-таки описать стили псевдоэлемента в css. Или вы можете создать настоящий элемент перед блоком и задать стили для него.