Как вставить onclick в echo

Добрый день. Вам надо экранировать кавычки и закрыть одинарную кавычку после </ul>

echo '
 <ul class="logreg">
  <li><a href="#modal1" class="button7">Регистрация</a></li>
  <li><a href="#exampleModal" id="#example1" 
   onclick="$(\'#exampleModal1\').arcticmodal()" class="button8">Войти</a></li>
</ul>';

Но лучше так не делать. Не пишите html в тегах php, разделяйте php и html

<?php
 // php код
?>
<!-- html код -->
<?php
 // php код
?>

Тут прочитаете подробности

p.s. Пример

<?php
  if(тут_условие){
?>
 <ul>
   <li><a href="#" onclick="function()">Link</a></li>  
 </ul>
 <script>
   /* тут javascript код*/
 </script>
<?php
  }
?>