$(this).addClass не работает

При таком объявлении this внутри функции указывает на глобальный объект (window) либо undefined если указана директива "use strict".

Поэтому $(this).addClass не сработал.

Для исправления нужно либо передать элемент непосредственно в функцию:

function AreaToggle(el) { 
  $(el).addClass("hidden"); 
}

.hidden { 
  color: red; 
}

<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script> 
<span class="homeInfo" onclick="AreaToggle(this)">Click</span>

Либо добавлять обработчик с помощью jQuery либо addEventListner, а не непосредственно в разметке.