IO Java. Проблемы с удалением и поиском

Я бы сделал так (если правильно понял задачу):

public class Employee {
    private String name;
    private int age;
    private int salary;
    private String job;
    public Employee(String name, int age, int salary, String job) {
        this.name = name;
        this.age = age;
        this.salary = salary;
        this.job = job;
    }
    public String getName() {
        return name;
    }
    public int getAge() {
        return age;
    }
    public int getSalary() {
        return salary;
    }
    public String getJob() {
        return job;
    }
    @Override
    public String toString() {
        return "Employee{" +
                "name='" + name + '\'' +
                ", age=" + age +
                ", salary=" + salary +
                ", job='" + job + '\'' +
                '}';
    }
}

Main

import java.io.FileWriter;
import java.io.IOException;
import java.io.Writer;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Main {
private static List<Employee> arrayEmployee = new ArrayList<>();
static boolean save(Employee employee) {
    arrayEmployee.add(employee);
    writeToFile(employee);
    return false;
}
static boolean writeToFile(Employee employee) {
    Writer writer = null;
    try {
        writer = new FileWriter("Employee.txt", true);
        for (Employee list : arrayEmployee) {
            writer.write(String.valueOf(list) + "\n");
        }
        writer.flush();
    } catch (IOException e) {
        e.printStackTrace();
    } finally {
        if (writer != null) {
            try {
                writer.close();
            } catch (IOException ex) {
                ex.printStackTrace();
            }
        }
    }
    return false;
}
static boolean delete(Employee employee) {
    arrayEmployee.remove(employee);
    writeToFile(employee);
    return false;
}
static boolean getByName(String name) {
    for (Employee employee : arrayEmployee) {
        if (employee.getName().equals(name)) {
            System.out.println("You found an employee named " + name);
        } else {
            System.out.println("Not found");
        }
    }
    return false;
}
public static void main(String[] args) {
    Employee employee1 = new Employee("Jack", 30, 10000, "IBM");
    Employee employee2 = new Employee("John", 20, 7000, "Apple");
    save(employee1);
    save(employee2);
    delete(employee1);
    getByName("Jack");
}
}

1). Проблема с удалением у Вас из-за того, что Вы используете метод remove и ожидаете, что Java сама "угадает" какой именно элемент Вы пытаетесь удалить. Если посмотреть в исходный код метода remove класса ArrayList, то можно увидеть, что происходит обход внутреннего массива значений и для каждого из них вызывается сравнение методом equals с удаляемым (переданным в метод remove) объектом. Тут мы подходим к истокам ошибки. Метод equals в классe Object выполняет лишь сравнение по ссылке. Если Вы хотите, чтобы работа с коллекциями Ваших объектов происходила корректно, Вам необходимо в Вашем объекте переопределить метод equals, объяснив тем самым как правильно сравнивать Ваши объекты. Подробнее про это пишет Джошуа Блох в своей книге "Effective Java". Советую к прочтению, после того как изучите азы.

2) Проблема с поиском. Тут у Вас вперемешку непонимание работы метода equals с неверным кодом. Ваш метод getByName принимает строку name, т.е. предполагается искать работника по его name. Но Вы зачем-то сравниваете всего работника с переданным name. Вам нужно сравнивать employee.name c переданным name.