Из UTF в binaryString и обратно в java

Вы парсите из десятичной системы, а не из двоичной. По умолчанию показатель = 10, но его можно задать явно.

long charCode = Long.parseLong(curBin.substring(0, 16), 2);

char a = 'q';
String curBin = Long.toBinaryString(a);
while (curBin.length() < 16) {
    curBin = "0" + curBin;
}
long charCode = new BigInteger(curBin.substring(0, 16), 2).longValue();
String c = Character.toString((char) charCode);
String aStr = "" + a;
System.out.println(c.equals(aStr));

String aStr = "" + a; тоже там не очень нужен - лучше сравнивать сразу с исходным символом:

System.out.println(c.equals(String.valueOf('q')));