Изменения Node в Java внутри метода

Вы не до конца поняли как это работает. В метод передается ссылка на объект, пусть это будет ссылка, которая смотрит на объект n1: A -> n1

Когда вы в своем методе выполняете операцию присваивания n1 = n1.getNext(); ваша ссылка будет смотреть на следующий Node, A -> n1.getNext(), при этом сам Node n1 не изменится, а вы хотите изменить именно его.
Вот вам пример:

public void example(){
    List<Integer> list = new ArrayList<>(Arrays.asList(1,2,3));
    wrongChangeList(list);
    System.out.println(list);
    correctChangeList(list);
    System.out.println(list);
}
private void correctChangeList(List<Integer> list){
    list.clear();
    list.addAll(Arrays.asList(10, 20, 30));
}
private void wrongChangeList(List<Integer> list){
    list = Arrays.asList(10, 20, 30);
}

[1, 2, 3]

[10, 20, 30]

При вызове wrongChangeList ваш внешний список не изменится, изменится лишь ссылка внутри метода wrongChangeList Во втором случае мы изменяем непосредственно объект.

Надеюсь, вы сможете на основе этого понять, как работает ваш второй метод и почему не работает первый.