Java объявление классов

Можно. Это будет локальный класс(внутренний):

public class Application {
    public static void main(String... arg) {
        method();
    }
    private static void method() {
        String name = "name";
        class A {
            void print() { 
                System.out.println(name); 
            }
        }
        new A().print();
    }
}

Да.

public void validatePhoneNumber(String phoneNumber1) {
    final int numberLength = 10;
    class PhoneNumber {
        String formattedPhoneNumber = null;
        PhoneNumber(String phoneNumber){
            String currentNumber = phoneNumber.replaceAll(
              regularExpression, "");
            if (currentNumber.length() == numberLength)
                formattedPhoneNumber = currentNumber;
            else
                formattedPhoneNumber = null;
        }
        public String getNumber() {
            return formattedPhoneNumber;
        }
        public void printOriginalNumbers() {
            System.out.println("Original numbers are " + phoneNumber1 +
                " and " + phoneNumber2);
        }
    }
    PhoneNumber myNumber1 = new PhoneNumber(phoneNumber1);
    myNumber1.printOriginalNumbers();
}

Только зачем? Код становится совсем нечитабельным