Как из массива Integer[] сделать int[] и наоборот?

Кастованием никак, Java 8 в помощь (мне так больше нравится):

public static void main(String[] args) {            
    int intArray [] = {5,2,3};
    // Получение Integer[] из int[]
    Integer [] integerArray = IntStream.of(intArray).boxed().toArray(Integer []::new);
    // Получение int[] из Integer[]
     int result [] = Arrays.stream(integerArray).mapToInt(i->i).toArray();
    System.out.println(Arrays.toString(result));
}

Прямолинейный подход - это использование цикла. Например,

import java.io.*;
class Ideone
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Integer[] a = { 1, 2, 3, 4 };
        for ( int item : a ) System.out.print( item + " " );
        System.out.println();
        int[] b = new int[a.length];
        for ( int i = 0; i < a.length; i++ ) b[i] = a[i];
        for ( int item : b ) System.out.print( item + " " );
        System.out.println();
        Integer[] c = new Integer[b.length];
        for ( int i = 0; i < b.length; i++ ) c[i] = b[i];
        for ( int item : c ) System.out.print( item + " " );
        System.out.println();
    }
}

Вывод программы на консоль:

1 2 3 4 
1 2 3 4 
1 2 3 4