Как открыть фрагмент из адаптера RecyclerView?

Вот это не работает, пишет cannot resolve method getFragmentManager().

И правильно пишет, так как в классе адаптера (и его суперклассе) нет подобного метода.

Можно пробросить нажатие на пункт списка в активити, а уже оттуда делать то, что Вы хотите.

1. Объявляете интерфейс:

   public interface OnRecyclerViewItemClickListener {
       void onClick();
   }

2. Реализуете этот интерфейс в классе активити:

   public class MainActivity extends AppCompatActivity implements OnRecyclerViewItemClickListener {
       ...
       @Override
       public void onClick() {
       }
   }

3. В адаптере добавляете поле:

   private OnRecyclerViewItemClickListener mClickListener;

4. При создании адаптера устанавливаете обработчик нажатия:

   public MyAwesomeAdapter(OnRecyclerViewItemClickListener clickListener) {
       mClickListener = clickListener;
   }

5. При клике на айтем, в адаптере вызываете коллбэк:

   if (mClickListener != null) {
       mClickListener.onClick();
   }

PS. Разумеется, в метод onClick() можно добавить необходимые параметры.