Как получить ответ из POST запроса

new DoPOSTInBackground().execute(key)
String[] key = {"qwerty"};

 package com.admin.post; 
 import android.os.AsyncTask; 
 import java.io.IOException; 
 import java.util.ArrayList; 
 import okhttp3.Call; 
 import okhttp3.Callback; 
 import okhttp3.FormBody; 
 import okhttp3.OkHttpClient; 
 import okhttp3.Request; 
 import okhttp3.RequestBody; 
 import okhttp3.Response; 
 class DoPOSTInBackground extends AsyncTask<String, Void, String> { 

 @Override 
 protected String doInBackground(String... keys) { 
 OkHttpClient client = new OkHttpClient(); 
 RequestBody formBody = new FormBody.Builder() 
      .add("name_form", "key_client") 
      .add("key", keys[0]) 
      .build(); 
 Request request = new Request.Builder() 
      .url("http://example.ru/index.php") 
      .post(formBody).build(); 
 client.newCall(request).enqueue(new Callback() { 
      @Override 
      public void onFailure(Call call, IOException e) { 
           e.printStackTrace(); 
      } 
      @Override 
      public void onResponse(Call call, Response response) throws IOException { 
           System.out.println(response.body().string()); 
        } 
      }); 
      return null; 
      } 
 }

Вы сделали лишнюю работу. Вы создали асинхронную задачу и в ней асинхронно шлёте запрос. Вам досточно всего одной асинхронности. Т.е. или убрать асинхронный вызов запроса к серверу или убрать АсинкТаск вообще.

Ладно, распишу оба варианта.

Вариант 1. Использование класса AsyncTask

класс DoPOSTInBackground

class DoPOSTInBackground extends AsyncTask<String, Void, String> {
//сюда будет помещен ответ от сервера
private String mResponseString;
//слушатель событий, будет оповещен, когда запрос закончит выполняться.
private PostRequestListener postRequestListener;
public void setPostRequestListener(PostRequestListener postRequestListener) {
    this.postRequestListener = postRequestListener;
}
@Override
protected String doInBackground(String... keys) {
    OkHttpClient client = new OkHttpClient();
    RequestBody formBody = new FormBody.Builder()
            .add("name_form", "key_client")
            .add("key", keys[0])
            .build();
    DownloadManager.Request request = new Request.Builder()
            .url("http://example.ru/index.php")
            .post(formBody).build();
    //doInBackground вызывается в отдельном потоке, значит
    //execute() можно вызывать прямо здесь.
    //Метод enqueue(), в отличие от него, вызывается в отдельном потоке
    //поэтому в данном случае нет смысла этого делать.
    client.newCall(request).execute();
    return null;
}
@Override
protected void onPostExecute(String s) {
    super.onPostExecute(s);
    //onPostExecute вызывается на главном потоке, поэтому никаких проблем
    //нет, можно отправлять событие слушателю.
    if (postRequestListener != null)
    {
        postRequestListener.onResponse(mResponseString);
    }
}
public interface PostRequestListener{
    void onResponse(String response);
}

}

Активити или фрагмент

public class ActivityOrFragment implements DoPOSTInBackground.PostRequestListener {
void makeRequest(){
    DoPOSTInBackground task = new DoPOSTInBackground().execute();
    task.setPostRequestListener(this);
}
@Override
public void onResponse(String response) {
    //твой придет сюда. 
}

}

Вариант 2. Без использования AsyncTask

class CoreOkHttpPost  {
//слушатель событий, будет оповещен, когда запрос закончит выполняться.
private PostRequestListener postRequestListener;
public void setPostRequestListener(PostRequestListener postRequestListener) {
    this.postRequestListener = postRequestListener;
}
public void makePostRequest(){
    OkHttpClient client = new OkHttpClient();
    RequestBody formBody = new FormBody.Builder()
            .add("name_form", "key_client")
            .add("key", keys[0])
            .build();
    DownloadManager.Request request = new Request.Builder()
            .url("http://example.ru/index.php")
            .post(formBody).build();
    client.newCall(request).enqueue(new Callback() {
        @Override
        public void onFailure(Call call, IOException e) {
            System.out.println("post request failed");
        }
        @Override
        public void onResponse(Call call, final Response response) throws IOException {
            //берем ответ от сервера
            final String responseString = response.body().string();
            //Так как enqueue выполняется в отдельном потоке, соответственно
            //onResponse тоже будет выполнен в том же (отдельном от главного) потоке.
            //Активити и фрагменты не любят когда трогают View-элементы не в main потоке,
            //поэтому решаем эту проблему Handler'ом. Иначе будет Exception.
            new Handler(Looper.getMainLooper()).post(new Runnable() {
                @Override
                public void run() {
                    notifyRequestExecuted(responseString);
                }
            });
        }
    });
}
//оповещение можно вынести в отдельный метод
private void notifyRequestExecuted(String response){
    if (postRequestListener != null)
    {
        postRequestListener.onResponse(response);
    }
}
public interface PostRequestListener{
    void onResponse(String response);
}

}

Активити или фрагмент

public class ActivityOrFragment implements CoreOkHttpPost.PostRequestListener {
void makeRequest(){
    CoreOkHttpPost coreOkHttpPost = new CoreOkHttpPost();
    coreOkHttpPost.makePostRequest();
    coreOkHttpPost.makePostRequest();
}
@Override
public void onResponse(String response) {
    //твой ответ здесь
}

}