Как получить значение из массива String [требует правки]

Комментарий "конечно же не работает" можно отнести и к первой строке кода, ибо в ней представлен некомпилируемый код.

Если letters действительно объявить как массив (String[], а не String), а в конструкторе использовать letters, а не a, то всё работает:

public class Element
{
    static String[] letters = { "A", "B", "C" };
    String myLetter;
    public Element()
    {
        myLetter = letters[1];
    }
}

И не по самому вопросу:

Если массив letters не будет меняться, то стоит отметить его как final. Если он не должен быть доступен извне (из других классов), то стоит также сделать его private. Аналогично для myLetter.

У вас не массив, вот и не работает. Надо так объявлять:

static String[] letters = { "A", "B", "C" }; 

или так

static String letters[] = { "A", "B", "C" };